2048 Nasıl Kazanılır? Köşe Stratejisi ve Yılan Dizilişi

Kısaca

2048’i kazanmanın yolu, en büyük taşı bir köşede tutmak ve öbür taşları o köşeden kıvrılarak küçülen bir sırayla, yani yılan dizilişiyle dizmektir. Bu sayfa önce kuralları, sonra bu stratejiyi adım adım anlatıyor. Tavsiyeleri, oyunun kurallarını birebir uygulayan bir programla binlerce oyunda sınadık; sonuçlar aşağıda.

• Oyun 4×4’lük bir tahtada oynanır. Her hamlede bütün taşlar seçtiğiniz yöne kayar; aynı sayıdaki iki taş birleşip tek taş olur.
• Tahtayı değiştiren her hamleden sonra boş bir kareye yeni taş gelir: 10 taştan yaklaşık 9’u 2, biri 4.
• Bir 2048 taşı yaptığınızda kazanırsınız. İsterseniz oynamaya devam edersiniz.
• Strateji: bir köşe seçin, köşeyi hiç oynatmayan iki yönü kullanın, köşedeki sırayı bozacak hamleden kaçının ve her hamleden önce yeni taşın nereye düşebileceğini düşünün.
• 2048 taşına ulaşmak bin hamleye yakın sürer. Acele etmeyin: oyunda geri alma yoktur.

2048 kuralları

1. Tahta: 4×4, 16 kare. Oyun iki taşla başlar.
2. Hamle: Bir yön seçersiniz: yukarı, aşağı, sola ya da sağa. Bütün taşlar o yönde gidebildikleri kadar kayar.
3. Birleşme: Aynı sayıdaki iki taş çarpışınca tek taş olur ve sayı ikiye katlanır: 2 ile 2’den 4, 4 ile 4’ten 8. Bir taş bir hamlede yalnız bir kez birleşir.
4. Yeni taş: Tahtayı değiştiren her hamleden sonra boş karelerden birine yeni bir taş gelir. Yeni taş %90 ihtimalle 2, %10 ihtimalle 4’tür. Hangi boş kareye geleceği rastgeledir.
5. Taşları kımıldatmayan hamle sayılmaz: Hiçbir taşın kaymadığı bir yöne basarsanız hiçbir şey olmaz; yeni taş da gelmez. Yani pas geçemezsiniz.
6. Skor: Her birleşmede oluşan taşın değeri skorunuza eklenir. İki 8 birleşirse skorunuz 16 artar.
7. Kazanmak: Bir 2048 taşı oluşunca “Kazandınız!” yazısı çıkar. “Devam et” düğmesine ya da bir yön tuşuna basarsanız oyun sürer.
8. Oyunun sonu: Hiçbir yön tahtayı değiştiremiyorsa, yani tahta dolu ve yan yana ya da üst üste eşit taş kalmamışsa oyun biter. Skorunuz o an skor tablosuna gönderilir.

oyna.app’te taşları şöyle kaydırırsınız:

“Skor” kutusu o anki skorunuzu, “En iyi” kutusu bu tarayıcıdaki rekorunuzu gösterir. Hamle geri alınamaz.

Birleşme nasıl işler?

Kuralın ince yeri, bir sırada üç ya da dört eşit taş olduğunda ortaya çıkar. Aşağıdaki satırlar tahtanın tek bir sırasıdır, soldan sağa; · boş kare demektir.

Bundan iki sonuç çıkar:

• Birleşme, gittiğiniz duvardan başlar. Köşe stratejisinin temeli budur: büyük taşlar duvara yaslı durunca yeni birleşmeler onlara doğru akar.
• Bir taş bir hamlede yalnız bir kez büyür. 2 2 4 8 sırasını tek hamlede 16 yapamazsınız. Araya yeni taş girmezse sola üç kez basarsınız: önce 4 4 8 ·, sonra 8 8 · ·, en sonunda 16 · · ·.

Köşe stratejisi

1. Bir köşe seçin. Hangisi olduğu fark etmez; kurallar dört yönde de aynı işler. Bu sayfadaki örnekler sol alt köşeyi kullanır.
2. En büyük taşınızı o köşeye getirin ve oyun boyunca orada tutun.
3. İki ana yön kullanın: aşağı ve sola. Bu iki hamle köşedeki taşı hiçbir zaman yerinden oynatmaz. Taş ya yerinde kalır ya da eşiyle birleşip köşede büyür: aşağı basınca eşi üstünden, sola basınca yanından gelir.
4. Üçüncü yön sağdır. Alt sıra kımıldamayacaksa güvenlidir, yani dört karesi de dolu ve içinde yan yana eşit iki taş yoksa (ayrıntı). Yılanın ikinci sırasını da bu hamleyle birleştirirsiniz (zincir).
5. Dördüncü yön yukarıdır. Köşedeki taşı en kolay yerinden oynatan hamle budur, bu yüzden nadiren basın. Ama yasaklamayın: bazen en az zarar veren hamle odur. Basmadan önce köşenin sütununa bakın: dört karesi de dolu ve içinde üst üste eşit iki taş yoksa köşedeki taş yerinde kalır. Aşağı ve sola basılamıyorsa sağa ile yukarıyı karşılaştırın; köşeyi ve alt sırayı hangisi daha iyi koruyorsa onu seçin. Denemede yukarıyı yalnız köşe sütunu kımıldamayacakken kullanan program 2048’e oyunların %51’inde ulaştı, onu öbür yönler gibi tartan program %77’sinde (sonuçlar).

Başka bir köşe seçerseniz yönler de değişir. Tablo, yılanı köşenin bulunduğu sıra boyunca kurduğunuzu varsayar:

Yılan dizilişi

Köşeyi tutmak tek başına yetmez; öbür taşların sırası da önemlidir. Yılan dizilişinde taşlar köşeden başlayıp kıvrılan bir yol boyunca küçülür.

1. En büyük taş köşededir. Alt sıra köşeden uzaklaştıkça küçülür: 1024, 512, 256, 128.
2. Sıra bitince yol bir üst sıraya kıvrılır ve ters yönde sürer: 128’in üstünde 64, onun solunda 32, 16, 8.
3. Yol böyle devam eder: 8’in üstünde 4, onun sağında 2.
4. Her taşın yanında bir sonraki büyük taş durur. Yolun ucunda iki küçük taş birleşince oluşan taş, yoldaki bir sonraki taşın eşi olur. Birleşmeler böylece zincir gibi köşeye akar.
5. Yeni taşları yolun ucunda toplayın. Küçük taşlar yılanın kuyruğunda büyüsün; yolun ortasına küçük taş sıkışmasın (hatalar).

Zincir nasıl işler? Şekildeki tahtada, 4’ün yanındaki 2’nin sağına bir 2 daha düştüğünü düşünün. Sola iki kez basınca önce iki 2, sonra iki 4 birleşir; 8’in tam üstünde bir 8 oluşur. Aşağı basınca iki 8 birleşir ve alttan ikinci sıra 16 16 32 64 olur. Alt sıra dolu ve içinde yan yana eşit taş olmadığı için sağa basmak alt sırayı kımıldatmaz:

1. Sağa: 16’lar birleşir, alttan ikinci sıra · 32 32 64 olur.
2. Sağa: · · 64 64.
3. Sağa: · · · 128. Yeni 128, alttaki 128’in tam üstündedir.
4. Aşağı: iki 128 birleşir; alt sıra 1024 512 256 256 olur.
5. Sola: 1024 512 512 ·.
6. Sola: 1024 1024 · ·.
7. Sola: 2048 · · ·.

Alttan ikinci sıradaki birleşmeler sağa, 128’in üstüne doğru akar; alt sıradakiler sola, köşeye doğru. Her hamleden sonra yeni bir taş gelir. O taşlar yola engel olmadıkça bu zincir yedi hamlede 2048’e varır.

Sıra her zaman bu kadar düzgün olmaz. Amaç, büyük taşların köşeden uzaklaştıkça küçüldüğü bir düzeni olabildiğince korumaktır.

Hangi yöne ne zaman basılır?

Sol alt köşe için:

Aşağı ve sola köşedeki taşı hiç oynatmaz. Köşedeki taş ya yerinde kalır ya da eşiyle birleşip köşede büyür. Yine de bir hamle alt sırada boşluk açıyorsa, yeni taşın oraya düşebileceğini unutmayın.

Sağa (üçüncü yön), alt sıra kımıldamayacaksa güvenlidir. Alt sıranın dört karesi de doluysa ve içinde yan yana eşit iki taş yoksa, sağa basmak alt sırayı hiç kımıldatmaz; yalnız üstteki sıralar kayar. Sırada bir boşluk ya da yan yana eşit iki taş varsa sıra sağa kayar ve köşe boşalır:

Yukarı (dördüncü yön), köşe için en tehlikeli yöndür. Köşenin sütununda boşluk ya da üst üste eşit iki taş varsa köşedeki taş yukarı kayar. Aşağıdaki örnekte 512 köşeden çıkar, alt sıranın öbür üç taşı da en üst sıraya gider. (Hamleden sonra gelen yeni taş gösterilmedi.)

Köşenin sütunu doluysa ve içinde üst üste eşit iki taş yoksa, yukarı basmak köşedeki taşı oynatmaz. Öbür sütunlardaki taşlar ise yine yukarı kayar:

Köşe yerinde kaldı, ama alt sıranın geri kalanı boşaldı. Böyle bir hamleden sonra aşağı basıp taşları geri indirmeyi deneyin.

Yukarıyı tamamen yasaklamak da doğru değil: denediğimiz programlar arasında en iyi sonucu, yukarıyı öbür yönler gibi tartan aldı (sonuçlar). Yukarıyı bir seçenek olarak tutun: basmadan önce köşenin sütununa bakın ve öbür yönlerin sırayı daha çok bozup bozmayacağını düşünün.

Bir sonraki hamleyi de düşünün

Köşe ve yılan kuralı neyi korumanız gerektiğini söyler. Hangi hamlenin onu koruduğunu ise tahtaya bakarak bulursunuz. Hamle yapmadan önce kendinize üç soru sorun:

1. Bu hamle köşeyi ve alt sırayı yerinde bırakıyor mu?
2. Yeni taş nereye düşebilir? Hamleden sonra boş kalacak karelere bakın; yeni taş bunların herhangi birine gelebilir. Köşenin yanında ya da alt sırada açılan bir boşluğa bir 2 düşerse sıranız bozulur.
3. Ardından ne yapacağım? İki hamle aynı derecede iyi görünüyorsa, arkasından güvenli bir hamle bırakanı seçin.

Denemelerimizde en büyük farkı ileriye bakmak yarattı. Köşeyi ve yılan sırasını gözeten program, yalnız bir hamleyi ve ardından gelecek taşı hesaba katınca 2.000 oyunun yalnız birinde 2048’e ulaştı. Bir hamle ve bir taş daha ileriye bakınca oran, yukarıyı nasıl kullandığına göre %42 ile %77 arasına çıktı.

Stratejileri denedik

oyna.app’teki 2048’in kurallarını birebir uygulayan bir programla farklı oyun biçimlerini denedik: aynı kayma ve birleşme kuralları, yeni taş için aynı %90 / %10. Her satır, o biçimle oynanan oyunların yüzde kaçında hangi taşa ulaşıldığını gösterir (yöntem). %0, o satırdaki oyunların hiçbirinin o taşa ulaşmadığı demektir.

Tablodan çıkanlar:

• Rastgele kaydırmak 512’ye neredeyse hiç ulaşmıyor. Denediğimiz 10.000 oyunun hiçbiri 512 yapamadı; en büyük taş çoğu zaman 64 ya da 128’de kaldı.
• Birleşme kovalamak yetmiyor. Her hamlede skora en çok ekleyen yönü seçmek rastgele oynamaktan daha iyi sonuç veriyor, ama köşesiz oyun çoğunlukla 128 ya da 256’da kalıyor; 512’yi 100 oyunda ancak 3 kez görüyor.
• Yön sırasını körü körüne uygulamak da yetmiyor. “Aşağı, sola, sağa, yukarı” sırası yaklaşık 20 oyunda bir 512’ye ulaştı ve hiç 1024 yapmadı. Sıra doğru, ama tahtaya bakmadan uygulanıyor: örneğin alt sırada boşluk varken de sağa basıyor.
• Yılan sırasını gözetmek farkı büyütüyor. Aynı köşeyi tutup yönü tahtaya bakarak seçen program 512’ye 100 oyunda 27 kez ulaştı.
• İleriye bakmak asıl farkı yaratıyor. Bir hamle daha ileri bakınca 2048 oranı %0,05’ten %42,5’e çıktı.
• Yukarıyı yasaklamayın, tartın. Yukarıya yalnız köşe sütunu kımıldamayacakken basan program 2048’e oyunların %50,7’sinde ulaştı; yukarıyı öbür yönler gibi tartan program %77,4’ünde. Bu son program yukarıya ortalama 260 hamlede bir bastı. 180 oyunluk bir örnekteki 1.152 yukarı basışın yaklaşık üçte birinde aşağı da sola da tahtayı değiştiremiyordu. Basışların dörtte üçünde köşedeki taş yerinde kaldı, dörtte birinde kaydı. Yani en iyi sonucu alan program da köşeyi arada bir oynattı; bunu, kendi ölçüsüne göre öbür hamlelerin sırayı daha çok bozacağı zamanlarda yaptı.
• Sağa basmadan önce alt sıraya bakmak doğru. Aynı program 30 oyunda sağa 14.911 kez bastı; bunların yalnız 121’inde (yüzde 1’den az) alt sıra kımıldadı.

Bu programlar 2048’de ulaşılabilecek sınırı göstermez. Sayılar, bu fikirlerin ne kadar fark yarattığını gösterir.

Kaçınılacak hatalar

İşin püf noktası, şu hatalardan uzak durmaktır:

1. Hızlı ve rastgele kaydırmak. Rastgele oynanan 10.000 oyunun hiçbiri 512’ye ulaşmadı. Geri alma olmadığı için her hamleden önce bir an durun.
2. Her birleşmenin peşinden koşmak. Tahtanın ortasında yapılan bir birleşme, büyük taşları köşeden uzaklaştırabilir. Önce sırayı koruyun, skor arkasından gelir.
3. Alt sıra kımıldayacakken sağa basmak. Sırada boşluk ya da yan yana eşit iki taş varsa bütün sıra kayar, köşe boşalır ve yeni taş oraya düşebilir.
4. Köşenin sütununa bakmadan yukarı basmak. Sütunda boşluk ya da üst üste eşit iki taş varsa köşedeki taş yukarı kayar. Daha az bozan bir hamle varken bunu göze almayın.
5. Küçük bir taşı büyüklerin arasına sıkıştırmak. Alt sıra 512 2 256 128 olursa, o 2 yanındakilerle birleşemez. Eşini ancak üstünden gelen bir taş getirebilir. O taş 256 olana kadar alt sıranın zinciri kopuk kalır.
6. Tahtayı tıka basa doldurmak. Boş kare azaldıkça seçenekleriniz azalır; oyun, boş kare ve yan yana ya da üst üste eşit taş kalmayınca biter. Yılanın kuyruğundaki küçük taşları erken birleştirin.

Köşe bozulursa ne yapmalı?

Bazen başka hamle kalmaz ve köşedeki taş yerinden çıkar. Oyun bitmiş değildir.

1. Köşe boş kaldıysa bir sonraki hamlede büyük taşı geri itin. Sol alt köşe için aşağı ya da sola basın.
2. Köşeye küçük bir taş düştüyse telaşlanmayın. Yanına aynı sayıları getirerek o taşı büyütün ve bu sırada büyük taşı hemen yanında tutun.
3. Büyük taş başka bir köşeye daha yakın duruyorsa yeni köşeniz orası olsun. Yönlerinizi o köşeye göre değiştirin.

2048’den sonra

2048 taşını yapınca “Kazandınız!” yazısı çıkar. “Devam et” düğmesine ya da bir yön tuşuna basarsanız aynı tahtada oynamaya devam edersiniz.

• Skor saymaya devam eder. Oyun, hiçbir yön tahtayı değiştiremeyince biter ve skorunuz o an skor tablosuna gönderilir. Oyun bitmeden pencereyi kapatır ya da yeni oyuna geçerseniz o oyunun skoru kaydedilmez. Tabloda sıralama skora göredir; yani 2048’den sonra oynamak, sıralamadaki yerinizi yükseltebilir.
• Strateji aynı kalır. 2048 köşede durur; bir sonraki 2048’i kalan 15 karede, onun hemen yanında kurarsınız. Yer daraldığı için köşeyi ve alt sırayı korumak daha da önemli olur.
• Sonraki hedefler 4096 ve 8192’dir. 4096 yaklaşık 1.900 hamle sürer. Yukarıyı da tartan program 4096’ya 402 oyunun 106’sında, 8192’ye 3’ünde ulaştı.
• Bir sınır var. 4×4 tahtada kuramsal olarak yapılabilecek en büyük taş 131072’dir. Bir taşı yapmak için ondan küçük taşların sırayla tahtada durması gerekir. 16 kareye ancak 65536’dan 4’e kadar 15 taş ve yeni gelen bir 4 sığar; bunlar art arda birleşince 131072 olur.

Kaç hamle, kaç skor?

Tahtadaki sayıların toplamı birleşmede değişmez: iki 8 birleşince toplam yine 16’dır. Toplam yalnız yeni taşla artar: her hamlede 2 ya da 4, ortalama 2,2 (0,9 × 2 + 0,1 × 4). Bu yüzden bir taşı yapmak için gereken hamle sayısı aşağı yukarı önceden bellidir.

• “Ortalama şansla en az”: taşın değeri ÷ 2,2, eksi 1. Oyun iki taşla (ortalama 4,4) başlar. Bir taşı yapan hamlenin yeni taşı ise ancak ondan sonra gelir; n. hamlede taş oluşurken tahtaya n − 1 yeni taş gelmiştir. Toplam 4,4 + 2,2 × (n − 1) = 2,2 × (n + 1) olur ve bu, taşın değerinden az olamaz. Daha çok 4 gelirse daha az hamle yeter: her yeni taş 4 olsaydı 2048 için 511 hamle yeterdi.
• “Programda”: denemedeki son programın, yani yukarıyı da tartanın, o taşa ulaştığı oyunlar. 8192’ye 402 oyunun yalnız 3’ünde ulaştı; satırda bu üç oyunun aralığı var.
• Skor: Yalnız 2’lerden kurulan bir 2048 taşının içinde on birleşme basamağı vardır: 2’lerden 4’ler, 4’lerden 8’ler, …, 1024’lerden 2048. Her basamak skora toplam 2048 ekler; taşın tamamı 20.480 (10 × 2048). İçine karışan her 4 bunu 4 azaltır. Bu yüzden ilk 2048 göründüğünde skor 20.000’in biraz üstündedir: yukarıyı da tartan programın 2048’e ulaştığı oyunların %90’ında 20.108 ile 21.212 arasındaydı. Aynı hesapla 4096 taşı 45.056 (11 × 4096), 8192 taşı 98.304 (12 × 8192) ekler; içine karışan 4’lerle bunlar yaklaşık 44.300 ve 96.800 olur.

Sayılar nasıl hesaplandı?

1. Kurallar: Program, oyna.app’teki 2048’in kurallarını birebir uyguladı: aynı kayma, aynı birleşme, yeni taş için %90 2 / %10 4.
2. Basit biçimler: “Rastgele”: taşları kaydıran yönlerden biri rastgele seçildi. “Skora en çok ekleyen”: o hamlede skora en çok ekleyen yön (eşitlikte rastgele). “Sabit sıra”: aşağı; o yön tahtayı değiştirmezse sola, sonra sağa, en son yukarı.
3. Köşe ve yılan ölçüsü: Program her tahtaya bir değer biçer. Her karenin bir ağırlığı vardır: sol alt köşeden başlayıp yılan yolu boyunca her karenin ağırlığı bir öncekinin dörtte biridir. Tahtanın değeri, her taşın kendi karesinin ağırlığıyla çarpımının toplamıdır. Bu ölçü, büyük taşları köşede ve yılan sırasında tutan tahtaları öne çıkarır.
4. İleri bakmak: “Bir hamle ileri”: program her olası hamleden sonra yeni taşın gelebileceği her boş kareyi (2 için %90, 4 için %10 ağırlıkla) hesaba katar ve ortalama değeri en yüksek hamleyi seçer. “İki hamle ileri”: bunun ardından kendi en iyi hamlesini ve bir sonraki yeni taşı da hesaba katar.
5. Yukarı: “Yalnız mecburken”: yukarı yalnız başka hamle yoksa seçilir; ileriye bakarken de böyle sayılır. Bir hamle ileri bakan program da böyle oynadı. “Köşe sütunu kımıldamayacaksa da”: o hamlede köşenin sütunu yerinde kalıyorsa yukarı da seçilebilir. “Öbür yönler gibi tartılarak”: yukarı her zaman seçeneklerden biridir.
6. Oyun sayıları: basit biçimler 10.000’er, bir hamle ileri bakan 2.000, iki hamle ileri bakanlar 402’şer oyun. İki hamle ileri bakan program yavaş olduğu için daha az oyun oynandı; o satırlardaki oranlar yaklaşık 5 yüzde puanı oynayabilir.
7. Yukarı ve sağa basışlar: Yukarıyı da tartan program 180 oyunluk bir örnekte izlendi. Her yukarı basışta aşağı ya da sola basılıp basılamayacağına ve köşedeki taşın yerinde kalıp kalmadığına bakıldı. Sağa basışlar 30 oyunluk bir örnekte sayıldı: her basışta alt sıranın kımıldayıp kımıldamadığına bakıldı.
8. Hamle ve skor tablosu: “Ortanca”, yukarıyı da tartan programın o taşa ulaştığı oyunların ortasındaki değerdir. 2048 için 5.–95. yüzdelik aralığı: 933–1.040 hamle ve 20.108–21.212 skor.

Oynayarak deneyin

2048’i açın, sol alt köşeyi seçin ve ilk yüz hamlede olabildiğince yalnız aşağı ve sola basın. Sağa basmadan önce alt sıranın dolu olduğuna ve içinde yan yana eşit taş bulunmadığına bakın. Sayılarla düşünmeyi seviyorsanız Sayı Kaydırma (Sliding Puzzle) ve Sudoku da size göre olabilir; Sudoku’nun çözüm tekniklerini Sudoku nasıl çözülür yazısında bulabilirsiniz.