Tavlada Zar Hep Rakibe mi Geliyor? Üst Üste Çiftin Gerçek İhtimali (Hesaplayıcı)

Kısaca

Tavlada (Backgammon) iki zarın çift gelme olasılığı her atışta 1/6’dır; önümüzdeki üç atışın üçünün de çift gelmesi 1/216, dört atışın dördünün de çift gelmesi 1/1.296 ihtimaldir. Bu sayılar küçük görünür, ama bir oyun boyunca atılan onlarca zarın bir yerinde seri görmek o kadar nadir değildir.

Peki zar hep rakibe mi geliyor? Hesap iki tarafa da her atışta aynı 1/6’yı verir; yine de bir oyunda taraflardan birinin ötekinden en az 3 fazla çift atması %38,3 ihtimallidir (ayrıntısı). “Zar ona geliyor” hissi bu yüzden sık doğar.

• Bir atışta çift: 1/6 (%16,7). Belirli bir çift, örneğin düşeş (6-6): 1/36 (%2,8).
• Zarın hafızası yoktur: üç çift üst üste geldikten sonra da sıradaki atışın çift gelme olasılığı 1/6’dır.
• 30 atışta en az bir kez üç çiftlik seri: %10,4; dört çiftlik seri: %1,7. 60 atışta: %20,4 ve %3,6.
• 30’ar atışlık bir oyunda rakibinizin sizden en az 3 çift fazla atması %19,2, yani yaklaşık beş oyunda birdir. Sizin ondan 3 fazla atmanız da aynı ihtimalle olur.
• Yılda 500 oyun oynayan biri, rakibinin üst üste en az dört çift attığı oyunu ortalama 8–9 kez görür.

Bütün hesaplar aynı varsayıma dayanır: zarın altı yüzü eşit olasılıkla gelir ve her atış öncekilerden bağımsızdır. Hesabın nasıl yapıldığını sayfanın sonunda bulabilirsiniz. Kendi atış sayınızı ve aradığınız seri uzunluğunu sayfanın başındaki hesaplayıcıya yazarak aynı hesabı kendiniz yapabilirsiniz.

Bir atışta çift gelme olasılığı: 1/6

İki zar atıldığında 6 × 6 = 36 sonuç vardır ve her biri eşit olasılıklıdır. Birinci ve ikinci zar ayrı sayılır: 6-5 ile 5-6 iki ayrı sonuçtur. Bu 36 sonucun yalnız 6’sı çifttir: 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 ve 6-6. Bu yüzden bir atışta çift gelme olasılığı 6/36 = 1/6’dır.

Tablodan bir şey daha çıkar: şeşbeş (6-5) gibi karışık bir zar düşeşten iki kat sık gelir, çünkü iki yoldan gelebilir. Zarların adlarını tavlada zar isimleri sayfasında bulabilirsiniz.

Çift attığınızda zarı dört kez oynarsınız (çift zar kuralı). Çiftin bu kadar akılda kalmasının bir nedeni de budur; hesabını aşağıda bulabilirsiniz.

Zarın hafızası yoktur

Üç çift üst üste geldi diye dördüncü atışta çift gelme olasılığı azalmaz; 15 atıştır çift gelmedi diye de artmaz. Atışlar birbirinden bağımsız olduğu sürece sıradaki atışın çift gelme olasılığı her zaman 1/6’dır.

İki soru sık karıştırılır:

“Bu kadar çift geldi, artık gelmez” ile “Çok bekledim, sıra bende” cümlelerinin ikisi de bu yüzden hesapta karşılık bulmaz: zar önceki atışları bilmez.

Üst üste 2’den 9’a kadar çift

Önümüzdeki atışların hepsinin çift gelme olasılığı, her atış için bir kez 1/6 ile çarpılarak bulunur: iki atış 1/36, üç atış 1/216 ve böyle gider. Son sütun başka bir şeyi gösterir: bir oyuncunun atışlarını art arda saydığınızda böyle bir serinin ilk kez görülmesi için ortalama kaç atış geçtiğini.

Örneğin iki çiftlik bir seri için ortalama 42, dört çiftlik bir seri için 1.554 atış geçer (hesap).

Bir oyunda kaç kez zar atarsınız?

Bir seriyi görme ihtimali kaç atışa baktığınıza bağlıdır. Bunun için bir oyunun uzunluğunu kabaca bilmek yeter:

1. Başlangıçta iki oyuncunun da yürümesi gereken yol 167 hanedir (pip sayısı).
2. Karışık bir atış ortalama 7 hane eder. Çift dört kez oynandığı için ortalama 14 hane eder.
3. Altı atıştan biri çift olduğundan bir atışın ortalama değeri 5/6 × 7 + 1/6 × 14 = 8,17 hanedir.
4. 167 ÷ 8,17 ≈ 20. Yani kimse pul kırmasa ve hiçbir zar boşa gitmese bile bir oyuncu yaklaşık 20 kez zar atar.

Çoğu oyun bundan uzun sürer: kırılan pul yolu yeniden yürür, kırık pul giremeyince o atış boşa gider, kapalı haneler yüzünden bir çift her zaman dört kez oynanamaz, toplamada büyük zarlar küçük hanelerde harcanır. Bu yüzden aşağıda 30 atışı bir oyunda bir oyuncunun attığı zarlar için, 60 atışı da iki oyun için örnek uzunluk olarak kullanıyoruz.

“Üst üste” burada bir oyuncunun kendi atışları demektir: rakibiniz çift atar, siz atarsınız, rakibiniz yine çift atar. Araya sizin atışlarınız girer, ama onun serisi bozulmaz.

30 ve 60 atışta seri görme ihtimali

Tablo, bir oyuncunun atışları içinde en az bir kez belirtilen uzunlukta ya da daha uzun bir çift serisi görülme ihtimalini gösterir.

Tablo şöyle okunur:

• 30 atışta iki çiftlik bir seri yarıdan biraz fazla ihtimalle (%51,2) görülür. Üç çiftlik seri %10,4 ihtimalle, yani yaklaşık on oyunda bir; dört çiftlik seri %1,7 ihtimalle, yani yaklaşık 58 oyunda bir görülür.
• 60 atışta üç çiftlik seri %20,4, dört çiftlik seri %3,6 ihtimallidir.
• Bir oyunda iki oyuncu vardır. 30’ar atışta ikinizden birinin üç çiftlik seri yapma ihtimali %19,8, dört çiftlik seri yapma ihtimali %3,4’tür.

Düşeş gelme olasılığı

Düşeş, iki zarın da 6 gelmesidir; 36 sonuçtan yalnız biridir. Aşağıdaki sayılar her belirli çift için aynıdır; örneğin hepyek (1-1) için de.

Bir oyunda 30 kez zar atan bir oyuncu ortalama 0,83 düşeş atar (30 ÷ 36). Bu yüzden hiç düşeş gelmeyen oyun da sık görülür: 30 atışta hiç düşeş gelmemesi %43,0 ihtimallidir.

Aynı çiftin üst üste gelmesi, herhangi iki çiftin üst üste gelmesinden çok daha nadirdir. Üst üste iki düşeş 1/36 × 1/36 = 1/1.296’dır, yani herhangi dört çiftlik bir seriyle aynı ihtimal. Ama bir düşeş geldikten sonra sıradaki atışın da düşeş gelmesi, zarın hafızası olmadığı için, yine 1/36’dır.

Diğer zar ihtimalleri

Çiftin dışında iki ihtimal daha işinize yarar: belirli bir sayının gelmesi ve kırık pulun girmesi.

Belirli bir sayı: Zarlardan en az birinin 6 göstermesi 36 sonucun 11’inde olur: birinci zarın 6 geldiği 6 sonuç ile ikinci zarın 6 geldiği 6 sonuç, iki kez sayılan 6-6 bir kez çıkarılınca 11 eder (6 + 6 − 1). Yani 11/36, yaklaşık %30,6. Her sayı için aynıdır. Altı hane ötedeki tek pulu kırmak için 5-1, 4-2 gibi toplamlar da işe yarar; bu yüzden o pulu kırma ihtimali 11/36’dan yüksek olabilir ve tahtadaki dizilişe göre değişir.

Kırık pulun girmesi: Kırık pul rakibin evinden girer. İki zar da kapı olan bir haneyi gösterirse giremezsiniz. Örneğin rakibin evinde 3 kapı varsa bunun ihtimali 3/6 × 3/6 = 1/4, girme ihtimali 3/4’tür.

Kırık pulunuz beklerken “zar gelmiyor” hissinin güçlü olması bu yüzdendir: rakibin evinde dört kapı varken atışların %44,4’ünde, beş kapı varken %69,4’ünde kırık pul giremez ve sıra geçer. Kuralın kendisi tavla kuralları sayfasında, her zarın tek tek ihtimali zar isimleri sayfasında.

”Zar hep ona geliyor”: rakibin sizden fazla çift atması

Bir oyunda iki tarafın çift sayısı nadiren eşit olur. 30 atışta bir oyuncu ortalama 5 çift atar, ama bu sayı oyundan oyuna çok değişir.

Tablo ters yönde de aynıdır: sizin rakibinizden en az 3 fazla çift atma ihtimaliniz de %19,2’dir. İkisi birlikte düşünülünce bir oyunda taraflardan birinin ötekinden en az 2 fazla çift atması %60,1, en az 3 fazla atması %38,3 ihtimallidir. Yani oyunların çoğunda oyunculardan biri “zar ona geliyor” diyecek kadar fark görür; hesapta bu farkın size ya da rakibinize düşme ihtimali aynıdır.

“Bana hiç çift gelmiyor” hissi de aynı hesaptan çıkar:

• 30 atışta 2 ya da daha az çift atma ihtimali %10,3’tür; 8 ya da daha fazla çift atma ihtimali %11,4.
• Önümüzdeki 10 atışta hiç çift gelmemesi %16,2, 15 atışta %6,5, 20 atışta %2,6 ihtimallidir.
• 60 atışın bir yerinde 15 atış boyunca hiç çift gelmemesi neredeyse yarı yarıya (%48,1) olur.

Nadir seriler neden her gün birinin başına gelir?

“On milyonda bir” tek bir oyuncu için çok küçük bir sayıdır. Ama atışların sayısı büyüdükçe küçük kalmaz. Bir oyunda iki oyuncunun 30’ar kez zar attığını düşünün:

Bunu bir oyuncunun yılına çevirelim. Haftada 10 oyun oynayan biri yılda yaklaşık 500 oyun oynar. Bu oyuncunun rakiplerinden birinin bir yıl içinde en az bir kez:

• üst üste en az dört çift atması %99,98 ihtimallidir (yılda ortalama 8,7 oyunda),
• üst üste en az beş çift atması %75,5,
• üst üste en az altı çift atması %20,2,
• üst üste en az yedi çift atması %3,5 ihtimallidir.

Böyle 1.000 oyuncu düşünün: bir yıl içinde yaklaşık 200’ü rakiplerinden birinin üst üste en az altı çift attığını, 35’i en az yedi, 6’sı en az sekiz çift attığını görür. Rakiplerinden birinin üst üste dokuz çift attığını gören de yaklaşık bir kişidir.

Ölçek büyüdükçe “imkânsız” seri sıradan bir olaya dönüşür. Günde 272.000 oyun oynandığını varsayın: dokuz çiftlik seri o zaman ortalama her gün bir kez çıkar. Seriyi yaşayan için bu olay tektir ve inanılmazdır; bütün masaları birlikte sayan için beklenen bir sonuçtur.

Çift neden bu kadar akılda kalır?

Çift yalnız sık geldiği için değil, çok şey değiştirdiği için de akılda kalır:

• Çift dört kez oynandığı için ortalama 14 hane eder, karışık zar 7. Atışların altıda biri çifttir, ama zarların gösterdiği toplam hanenin %28,6’sı çiftlerdendir (36 sonucun gösterdiği 294 hanenin 84’ü).
• Dördü de oynanabilirse bir düşeş tek atışta 24 hane yürütür: başlangıçtaki 167 hanelik yolun %14,4’ü.
• Dört hamle, aynı atışta iki kapı almaya ya da toplamada dört pulu birden toplamaya yetebilir.

Bu yüzden rakibin doğru anda attığı tek bir çift, oyunun gidişini sıradan bir atıştan çok daha fazla değiştirir.

Türk tavlası ve backgammon: ilk hamle

Oyuna kimin başlayacağını iki oyuncunun birer zar atması belirler; zarlar eşit gelirse yeniden atılır. oyna.app’te sonrası iki oyunda farklıdır:

Backgammon’da bu yüzden oyunun ilk hamlesi hiçbir zaman çift değildir; sonraki her atışta olasılık yine 1/6’dır. Bu sayfadaki tablolar her atışı 1/6 sayar; backgammon’da ilk hamle yüzünden ihtimaller çok az daha düşüktür.

Kendiniz deneyin

Hesabı evdeki iki zarla sınayabilirsiniz. Yazdığınız sayıları hesaplayıcıyla karşılaştırın:

1. Zarları 100 kez atın ve her atışı bir kâğıda yazın.
2. Çiftleri sayın. Ortalama 16–17 çift beklenir; sonucun 10 ile 24 arasında çıkma ihtimali %95,7’dir.
3. En uzun çift serinizi bulun. 100 atışta en az bir kez üç çiftlik seri görme ihtimali %31,9, dört çiftlik seri %6,1’dir.
4. Bir arkadaşınızla 30’ar atış yapın ve çiftlerinizi karşılaştırın. Birinizin ötekinden en az 3 fazla çift atması %38,3 ihtimallidir.

Hesap nasıl yapıldı?

Hesaplar şu varsayımla yapıldı: iki zarın 36 sonucu eşit olasılıklıdır ve atışlar birbirinden bağımsızdır.

1. Tek atış: 36 sonucun 6’sı çifttir: p = 1/6.
2. Önümüzdeki k atış: her atış için bir kez 1/6 ile çarpılır: (1/6)ᵏ, yani 6ᵏ’de 1.
3. Ortalama bekleme: “şu anki seri kaç çift” durumlarından oluşan bir zincirde, seri k’ya ulaşana kadar beklenen atış sayısı: (6ᵏ − 1) × 6 ÷ 5.
4. n atışta en az bir seri: dinamik programlama. Her atıştan sonra seri uzunluğunun 0’dan k − 1’e kadar her değeri için bir olasılık tutulur. Çift gelirse (1/6) seri bir uzar, gelmezse (5/6) sıfırlanır; seri k’ya ulaşan olasılık bir kenarda toplanır.
5. Çift sayısı farkı: bir oyuncunun 30 atıştaki çift sayısı binom dağılımına uyar (30 deneme, her birinde 1/6). İki oyuncunun dağılımları bağımsız olarak karşılaştırıldı.
6. Düşeş sayısı: aynı yolla, 30 deneme ve her birinde 1/36. Örneğin en az bir düşeş 1 − (35/36)³⁰ = %57,0.
7. Ortalama değer ve kırık pul: 36 sonucun her biri tek tek sayıldı. Karışık zar iki sayısının toplamı kadar, çift bir zarın dört katı kadar hane eder: toplam 294, ortalama 294 ÷ 36 = 8,17. Kırık pul için iki zarın da kapı olan bir haneyi gösterdiği, yani pulun giremediği sonuçlar sayıldı; aynı sayılar oyna.app’in tavla motorunda 36 atışın her biri tek tek denenerek de bulundu.
8. Bir yıl: bir oyundaki ihtimal q ise, G oyunda en az bir kez görme ihtimali 1 − (1 − q)ᴳ’dir.

Hesaplar Node.js’te yapıldı. Sonuçlar 400.000 oyunluk rastgele bir benzetimle de denetlendi: 30 atışta üç çiftlik seri %10,41, dört çiftlik seri %1,73, rakibin en az 3 fazla çift atması %19,25 çıktı.

Sayfanın başındaki hesaplayıcı 2., 3. ve 4. adımları yapar: sizin yazdığınız atış sayısı ve seri uzunluğuyla, tarayıcınızda. Bu sayfadaki tabloların sayıları da onunla aynı çıkar.

Oynayarak görün

Bir çiftin oyunun gidişini nasıl değiştirdiğini tahtada kendiniz görebilirsiniz. Tavlayı açın ve bilgisayara karşı ya da online masada bir oyun oynayın. Kuralların tamamı tavla kuralları sayfasında, zarların adları zar isimleri sayfasında, tahtanın kurulumu tavla dizilişi sayfasında.