Mayın Tarlasında Tahmin Etmeden Çözmek: 5 Kalıp

Kısaca

Mayın Tarlası’nda (Minesweeper) bir sayı, o kareye değen kapalı karelerde kaç mayın olduğunu söyler. Bir sayı kendi başına bir kareyi kesinleştirmiyorsa, onu yanındaki sayıyla birlikte okuyun. Bu yazıdaki beş kalıp, iki ya da üç sayının birlikte bir sonuç verdiği dizilişlerdir:

1. Kenarda 1-1: Kenardaki 1’in iki kapalı karesi yanındaki 1’e de değiyorsa, o 1’in üçüncü kapalı karesi güvenlidir.
2. 1-2: 2’nin dış çaprazındaki kapalı kare mayın, 1’in dış çaprazındaki kapalı kare güvenlidir.
3. 1-2-1: Mayınlar iki 1’in karşısındadır; öbür üç kare güvenlidir.
4. 1-2-2-1: Mayınlar iki 2’nin karşısındadır; öbür dört kare güvenlidir.
5. Köşede 1-3-1: Açık alanın köşesindeki bir 3’ün sağında ve altında birer 1 varsa, 3’ün köşe çaprazı mayındır; bunu üç sayıyı birlikte okuyarak görürsünüz.

Hiçbir sayının birbirinden ayıramadığı iki kare kaldığında mantık biter: bu ikiz karelerde seçim yarı yarıyadır. İkiz kareleri Tahmin ne zaman kaçınılmaz? bölümünde anlatıyoruz. Oyunun kuralları, kontroller ve ilk tık için Mayın Tarlası nasıl oynanır? yazısına bakın.

Kalıplar neden çalışır?

Beş kalıbın arkasında iki alışkanlık var:

• Bayrakları hesaptan çıkarın. Bir sayıya değen her bayrak, o sayının mayınlarından birini zaten gösterir. Sayıdan bayrakların sayısını çıkardığınızda kalan, bayraksız kapalı komşularda kaç mayın daha olduğudur. Kalıplara bu kalan sayılarla bakın: ortak bir bayrağa değen bir 2 ile bir 3, bir 1 ile bir 2 gibi okunur.
• Yan yana iki sayıyı karşılaştırın. İki sayının ortak kapalı karelerindeki mayınlar, iki sayıdan küçüğünü geçemez. Bu yüzden büyük sayının yalnız kendi değdiği karelerde en az “büyük sayı − küçük sayı” kadar mayın vardır. Buradan iki sonuç çıkar:
  • Bu fark, büyük sayının yalnız kendi değdiği kapalı karelerin sayısına eşitse o karelerin hepsi mayındır. Ortak karelere de küçük sayı kadar mayın kalır, yani küçük sayının yalnız kendi değdiği kareler güvenlidir (1-2 ailesi).
  • İki sayı (bayraklar çıkarıldıktan sonra) eşitse ve birinin bütün kapalı kareleri öbürüne de değiyorsa, öbürünün fazladan değdiği kareler güvenlidir (1-1 ailesi).

1-2-1 ve 1-2-2-1, 1-2’nin bir kez soldan, bir kez sağdan okunmasıdır. Köşedeki 1-3-1 aynı sınırı üç sayıyla birlikte kullanır. Kalıplara bakmadan önce iki temel kural denenir: sayı kadar kapalı komşu varsa hepsi mayındır; sayı kadar bayrak varsa kalan komşular güvenlidir. Bu iki kural örnekleriyle Mayın Tarlası nasıl oynanır? yazısında anlatılıyor.

Her kalıbın çizimi kendi bölümünün başındadır. Çizimlerde kapalı kareler harfle anılır ve işaretler şöyledir:

Her çizimde, kalıbı oluşturan sayılara çizilenlerden başka kapalı kare değmez.

1. Kenarda 1-1

Soldaki çizimde iki 1 tahtanın sol kenarına dayanıyor; üstlerinde kapalı A, B, C ve D var.

• Sonuç: C güvenlidir. A ile B’den biri mayındır, ama hangisi olduğunu bu iki sayı söylemez.
• Neden: Kenardaki 1’e değen kapalı kare iki tanedir, A ve B; o 1’in mayını bunlardan birindedir. Sağdaki 1 de A ve B’ye değdiği için o mayın onun da mayınıdır. Sağdaki 1’in sayısı böylece dolar ve geriye kalan kapalı komşusu C güvenli olur.
• Kenarın görevi: Kenar, soldaki 1’in kapalı komşularını ikiye indirir. A’nın solundaki kare açık bir kareyse de sonuç aynıdır.
• Çalışmadığı yer: Sağdaki çizimde A’nın solunda kapalı bir Z karesi var. Soldaki 1’in mayını artık Z’de de olabilir; iki sayı birlikte hiçbir kareyi kesinleştirmez.

2. 1-2 kalıbı

Soldaki çizimde kapalı A, B, C ve D’nin altında yan yana bir 1 ve bir 2 duruyor.

• Sonuç: D mayın, A güvenli. B ile C’den biri mayındır; hangisi olduğu belli değildir.
• Neden: 1 ile 2’nin ortak kapalı kareleri B ve C’dir ve 1 yüzünden bu ikisinde en çok bir mayın olabilir. 2’nin iki mayınından biri bu yüzden ortak karelerin dışındadır; orada 2’ye değen kapalı kare yalnız D’dir. 2’nin öbür mayını B ya da C’dedir; bu mayın 1’i doldurur ve A güvenli kalır.
• Çalışmadığı yer: Sağdaki çizimde 2’nin sağ alt çaprazında kapalı bir E karesi daha var. 2’nin ikinci mayını artık E’de de olabilir ve hiçbir kare kesinleşmez. Bu yüzden 2’nin kapalı komşularını sayın: B, C ve D’den başka kare olmamalı.
• Bozmayan fazlalık: 1’in, 2’nin değmediği bir kapalı komşusu daha varsa sonuç değişmez: yine D mayın, A güvenli; o fazladan kare de güvenli çıkar.
• Bayrakla: Altlarındaki ortak bir bayrağa değen 2 ve 3, bayrak çıkarılınca 1 ve 2 olur; sonuç aynıdır.

3. 1-2-1 kalıbı

Soldaki çizimde A’dan E’ye beş kapalı karenin altında 1, 2 ve 1 duruyor.

• Sonuç: B ve D mayın; A, C ve E güvenli. Beş karenin hepsi kesinleşir: iki bayrak koyup üç kareyi açabilirsiniz.
• Neden: Soldaki 1 ile 2 bir 1-2’dir: 2’nin dış çaprazındaki D mayın, A güvenli. Sağdaki 1 ile 2 de ters yönden bir 1-2’dir: B mayın, E güvenli. 2’nin iki mayını böylece B ve D’dedir; aralarındaki C’ye mayın kalmaz.
• Bayrakla: Sağdaki çizimde sayılar 2, 3, 2; ortadakinin altında bir bayrak var ve üç sayı da o bayrağa değer. Bayrak çıkarılınca sayılar 1, 2, 1 olur ve sonuç aynıdır.

4. 1-2-2-1 kalıbı

Çizimde A’dan F’ye altı kapalı karenin altında 1, 2, 2 ve 1 duruyor.

• Sonuç: C ve D mayın; A, B, E ve F güvenli.
• Neden: Soldaki 1-2’den D mayın ve A güvenli çıkar; sağdaki 1-2’den, ters yönden okununca, C mayın ve F güvenli. Soldaki 1, B ve C’ye de değer; mayını C’de olduğu için B güvenlidir. Aynı yoldan sağdaki 1’in mayını D’dedir ve E güvenlidir.
• Karıştırmamak için: 1-2-1’de mayınlar 1’lerin, 1-2-2-1’de 2’lerin karşısındadır. İkisinde de bütün kareler kesinleşir.

5. Köşede 1-3-1

Çizimde açık alan bir köşe yapıyor: köşede bir 3, sağında ve altında birer 1 var. 3’ün beş kapalı komşusu var: köşe çaprazındaki A, üstte B ve C, solda E ve F.

1. Sağdaki 1’in kapalı komşuları B, C ve D’dir; bu yüzden B ile C’de en çok bir mayın olabilir.
2. Alttaki 1’in kapalı komşuları E, F ve G’dir; E ile F’de de en çok bir mayın olabilir.
3. 3’ün üç mayınından en çok ikisi bu dört karededir. Üçüncüsü için geriye köşe kalır: A mayın.
4. Böylece B ile C’de ve E ile F’de birer mayın vardır. İki 1’in mayını bu çiftlerdedir: D ve G güvenli.

Bu kalıpta sayıları ikişer ikişer karşılaştırmak hiçbir kareyi kesinleştirmez; üçünü birlikte okumak gerekir. Kalıbın kolay gözden kaçmasının nedeni budur. Üç sayıyı birlikte okumak tahtada seyrek fark yaratır: Mayın Tarlası nasıl oynanır? yazısındaki ölçümde, üç ya da daha çok sayıyı birlikte okumak tahminsiz bitirilebilen tahtaların oranını her seviyede 1 puandan az artırdı. Köşedeki 3’ü gördüğünüzde iki yanındaki sayılara bakmak yine de bir adım kazandırır.

Kalıpları tahtada bulmak

Kalıpları bilmek yetmez, tahtada görmek de gerekir. Süreyi kısaltmak için yarışan oyuncular kalıpları ezberler. Tahtaya şu sırayla bakmak işinizi kolaylaştırır:

1. Sınırı baştan sona izleyin. Açık alanla kapalı alan arasındaki sınırı bir uçtan öbür uca izleyin. Her sayıda bayrakları çıkarıp kalan sayıyı aklınızda tutun.
2. Önce iki temel kurala bakın. Sayısı kadar kapalı komşusu ya da sayısı kadar bayrağı olan sayılar hemen sonuç verir.
3. Sonra 1’in yanındaki 2’yi arayın. 1-2, 1-2-1 ve 1-2-2-1 aynı ailedendir. Düz bir sınırda 1 ile 2’yi yan yana gördüğünüzde dış çaprazlara bakın.
4. Kenarları ve köşeleri ayrıca tarayın. Kenardaki bir sayının kapalı komşusu daha azdır; kenarda 1-1 bu yüzden kolay görülür. İkiz kareler de neredeyse hep kenarda ya da köşede çıkar.
5. Kalıbı her yönde arayın. İlk dört çizimde kapalı kareler üstte duruyor. Tahtada aynı dizilişi kapalı kareler altta, solda ya da sağda olacak biçimde de görürsünüz; kural aynıdır.
6. Kesinleşen kareleri açın. Güvenli kareleri birer birer açabilir ya da bayrakları tamamlanan bir sayıda topluca açmayı kullanabilirsiniz (kontroller).

Tahmin ne zaman kaçınılmaz?

oyna.app mayınları yerleştirirken tahtanın yalnız mantıkla bitip bitmeyeceğine bakmaz. Bu yüzden bazı tahtalarda beş kalıbı da bilseniz bir noktada tahmin etmeniz gerekir. En açık hâli ikiz karelerdir (50/50): iki kapalı kareden biri mayındır ve ikisinin dışındaki her mayınsız kare, açılmış olsun olmasın, ya ikisine birden değer ya da hiçbirine.

Çizimde A tahtanın üst kenarında, B hemen altında:

1. A’nın iki yanındaki 1’ler, A ile B’de tam bir mayın olduğunu söyler.
2. B’nin iki yanındaki 3’lerin her biri alttaki bayraklardan ikisine değer; A ile B için onlardan da geriye 1 kalır.
3. A’ya değen her kare B’ye de değer: A kenarda olduğu için başka komşusu yoktur. B’ye değip A’ya değmeyen kareler alttaki üç bayraktır; onlar mayındır, hiç açılmaz ve sayı göstermez.

Mayın A’da da olsa B’de de olsa, ikisinin dışındaki bütün sayılar aynı kalır; kalan mayın sayacı da değişmez. Bu yüzden hiçbir kalıp ikisini ayıramaz: A ile B’de tam bir mayın var ve birini açtığınızda şansınız yarı yarıyadır.

Ne sıklıkla olur? Oyunun kendi mayın yerleştirme koduyla, ilk tık ortada, her seviyede 100.000 tahta ürettik ve her tahtada en az bir ikiz kare çifti olup olmadığına baktık (yöntem):

• Tahmin gereken tahtalar daha çok. Bu tahtalarda yarı yarıya bir seçim kaçınılmazdır, ama yalnız iki karelik ikizleri saydık. Daha büyük benzer gruplar ve yarı yarıya olmayan zorunlu tahminler de vardır: Mayın Tarlası nasıl oynanır? yazısındaki ölçümde bir noktada tahmin gerektiren tahtalar Başlangıç’ta %9,2, Orta’da %29,4, Uzman’da %84,3’tü.
• İkizler kenarda toplanır. Bulduğumuz çiftlerin %98’den fazlasında iki kare birbirine değiyordu, %97’den fazlasında kenar kenaraydı. Karelerden en az biri tahtanın kenarında ya da köşesindeydi: Başlangıç’ta bütün çiftlerde, Orta’da %99,2’sinde, Uzman’da %96,2’sinde.
• İkizlerin biçimi seviyeye göre değişir. Başlangıç’taki çiftlerin %73,3’ü aynı kenar boyunca yan yana iki kareydi ve %71,8’inde karelerden biri tahtanın köşesiydi. Orta’da çiftlerin %45,9’u, Uzman’da %55,8’i yukarıdaki çizimdeki biçimdeydi: kenardaki bir kare ve onun hemen içindeki kare.
• Uzman’ın mayın oranı düşüşün başında. Kenarı olmayan (karşı kenarları birbirine bağlı) 20×20, 40×40 ve 80×80’lik kare tahtalarla yapılan bir çalışmada, mayın oranı %20’den %30’a çıkarken yalnız mantıkla bulunabilen mayınların payı hızla sıfıra yaklaştı; %20’de bu pay hâlâ onda dokuza yakındı. O çalışmada da her oyun, sıfır olduğu bilinen bir kareden başlıyordu. Uzman’da mayın oranı %20,6’dır (Başlangıç’ta %12,3, Orta’da %15,6), yani bu düşüşün başladığı yerdedir.

Tahmin etmeden önce

1. Sınırı bir kez daha tarayın. Beş kalıbı ve iki temel kuralı her sayıda deneyin; bayrakları sayıdan çıkarmayı unutmayın.
2. İkizler gerçekten ikiz mi? Karelerden yalnız birine değen, henüz açılmamış ve mayın olmayabilecek bir kare varsa, o kare açılınca sayısı ikisini ayırabilir. Önce tahtanın başka yerlerini çözün; o kareye güvenle ulaşabilirseniz tahmine gerek kalmaz.
3. Sonda kalan mayın sayısına bakın. Birkaç kapalı kare kaldığında sayaç bazen karar verir (bir örnek). Gerçek ikizleri ise ayırmaz: mayın hangisinde olursa olsun aynı sayıyı gösterir.
4. Gerçek ikizde beklemenin yararı yoktur. Hiçbir yeni sayı ikisini ayırmayacağı için şansınız şimdi de sonra da yarı yarıyadır.
5. İkiz değilse riskleri karşılaştırın. Mayın olma ihtimali düşük ve açılınca sıkıştığınız yere bilgi getirecek bir kare arayın. Riski kabaca nasıl hesaplayacağınızı Mayın Tarlası nasıl oynanır? yazısında bulabilirsiniz.

oyna.app’te Mayın Tarlası

Kalıpları oynarken işinize yarayacak üç ayrıntı (kontrollerin hepsi Mayın Tarlası nasıl oynanır? yazısında):

• İlk tık bir tahmin değildir. Mayın tarlasının sürümleri ilk tık kuralında ayrılır: bazıları ilk kareyi, bazıları ilk kareyle birlikte çevresini de mayınsız bırakır. oyna.app’te ilk açtığınız kare ve ona değen bütün kareler her zaman mayınsızdır.
• Yalnız bayrak var. Karelere soru işareti konmaz. Yerini bilmediğiniz bir mayın çiftini, çizimlerdeki kesikli çerçeve gibi aklınızda tutun.
• Topluca açma bayraklara güvenir. Bir sayının çevresindeki bayraklar sayıyı tamamlıyorsa topluca açma kalan komşuları birden açar; bayraklardan biri yanlışsa bir mayını da açar ve oyun biter. Topluca açmaya, bayrakları kalıpla kesinleştirdikten sonra başvurun.

Kalıpları ve ikizleri nasıl denetledik?

1. Kalıplar: Her çizimdeki tahta için, çizilen sayılarla uyumlu bütün mayın dizilişlerini teker teker saydık (bir tahtada en çok 7 kapalı kare, yani en çok 128 diziliş). Bütün dizilişlerde boş kalan kareye güvenli, bütün dizilişlerde mayınlı olana mayın dedik. “Çalışmaz” örnekleri ve bayraklı hâller de aynı yolla denetlendi.
2. Tahtalar: Oyunun kendi kodunu kullandık: tahta, mayın yerleştirme ve rastgele sayı üreteci oyundakiyle aynı. Her seviyede 100.000 tahta ürettik. İlk tık tahtanın ortasındaydı: Başlangıç’ta 5. satır 5. sütun, Orta’da 9. satır 9. sütun, Uzman’da 9. satır 16. sütun.
3. İkiz kare çifti: Bir mayın (A) ile mayınsız bir kare (B); ikisi de ilk tıkın güvenli alanının dışında ve tahtadaki öbür her mayınsız kare ya ikisine birden değiyor ya da hiçbirine. Mayını A’dan B’ye taşıyınca açılabilecek her karenin sayısı aynı kalır; bu yüzden sayılara bakarak hiçbir oynama yolu ikisini ayıramaz. Mayın yerleştirme, güvenli alanın dışındaki dizilişleri eşit şansla seçecek biçimde yazıldığı için iki diziliş eşit olasılıklıdır ve seçim yarı yarıyadır.
4. Çiftin biçimi: İki kare bir kenarı paylaşıyorsa “kenar kenara”, yalnız bir köşesi ortaksa “çapraz” saydık; ikisi birlikte “birbirine değen” çiftlerdir.
5. Denetim: Hızlı aramayı 4.500 tahtada, her mayın ile her mayınsız kareyi teker teker deneyen yavaş bir aramayla karşılaştırdık. İki arama aynı 915 çifti buldu.

Oynayarak deneyin

Mayın Tarlası’nı açın ve Başlangıç’ta bir tahta oynayın. Takıldığınız her yerde önce sınırdaki 1-2’yi, sonra kenardaki 1-1’i arayın; Orta’ya geçtiğinizde köşelerdeki 3’lere de bakın. Sudoku’da da kesin hücreleri satırı, sütunu ve kutuyu birlikte okuyarak bulursunuz: Sudoku nasıl çözülür?